屋子里徐云正在侃侃而谈：
“艾萨克先生韩立爵士计算发现二项式定理中指数为分数时可以用e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……来计算。”
说着徐云拿起笔在纸上写下了一行字：
当n=0时e^x＞1。
“艾萨克先生这里是从x^0开始的用0作为起点讨论比较方便您可以理解吧？”
小牛点了点头示意自己明白。
随后徐云继续写道：
假设当n=k时结论成立即e^x＞1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!（x＞0）
则e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!]＞0
那么当n=k+1时令函数f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!（x＞0）
接着徐云在f(k+1)上画了个圈问道：
“艾萨克先生您对导数有了解么？”
小牛继续点了点头言简意赅的蹦出两个字：
“了解。”
学过数学的朋友应该都知道。
导数和积分是微积分最重要的组成部分而导数又是微分积分的基础。
眼下已经时值1665年末小牛对于导数的认知其实已经到了一个比较深奥的地步了。
在求导方面小牛的介入点是瞬时速度。
速度=路程x时间这是小学生都知道的公式但瞬时速度怎么办?
比如说知道路程s=t^2那么t=2的时候瞬时速度v是多少呢?
数学家的思维就是将没学过的问题转化成学过的问题。
于是牛顿想了一个很聪明的办法：
取一个”很短”的时间段△t 先算算t= 2到t=2+△t 这个时间段内平均速度是多少。
v=s/t=（4△t+△t^2）/△t=4+△t。
当△t 越来越小2+△t就越来越接近2 时间段就越来越窄。
△t 越来越接近0时那么平均速度就越来越接近瞬时速度。
如果△t小到了0 平均速度4+△t就变成了瞬时速度4。
当然了。
后来贝克莱发现了这个方法的一些逻辑问题也就是△t到底是不是0。
如果是0那么计算速度的时候怎么能用△t做分母呢？鲜为人咳咳小学生也知道0不能做除数。
到如果不是04+△t就永远变不成4平均速度永远变不成瞬时速度。
按照现代微积分的观念贝克莱是在质疑lim△t→0是否等价于△t=0。
这个问题的本质实际上是在对初生微积分的一种拷问用“无限细分”这种运动、模糊的词语来定义精准的数学真的合适吗？
贝克莱由此引发的一系列讨论便是赫赫有名的第二次数学危机。
甚至有些悲观党宣称数理大厦要坍塌了我们的世界都是虚假的——然后这些货真的就跳楼了在奥地利还留有他们的遗像也不知道是用来被人瞻仰还是鞭尸的。
这件事一直到要柯西和魏尔斯特拉斯两人的出现才会彻底有了解释与定论并且真正定义了后世很多同学挂的那棵树。
但那是后来的事情在小牛的这个年代新生数学的实用性是放在首位的因此严格化就相对被忽略了。
这个时代的很多人都是一边利用数学工具做研究一边用得出来的结果对工具进行改良优化。
偶尔还会出现一些倒霉蛋算着算着忽然发现自己这辈子的研究其实错了的情况。
总而言之。
在如今这个时间点小牛对于求导还是比较熟悉的只不过还没有归纳出系统的理论而已。
徐云见状又写到：
对f(k+1)求导可得f(k+1)''=e^x-1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^k/k!
由假设知f(k+1)''＞0
那么当x=0时。
f(k+1)=e^0-1-0/1!-0/2!--0/k+1!=1-1=0
所以当x＞0时。
因为导数大于0所以f(x)＞f(0)=0
所以当n=k+1时f(k+1)=e^x-[1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^(k+1)/(k+1)]!（x＞0）成立！